Question

有关极限的一道题目

试证：当n趋向于无穷大时，n与 180除以n的正弦 的 乘积趋向于 圆周率
（尽量用高中知识推导）

Answer 1

先贴个图，虽然是从高中知识出发，不过这里仍然不够严谨。

比较好的办法是先从幂级数定义sinx和cosx，然后可以定义其它三角函数，把pi定义成sinx的最小正根，有了pi之后再建立弧度制和三角函数的几何意义，这样一路下来逻辑上比较严谨。

Answer 2

lim（n→∞）n*sin（π/n)
=lim（n→∞）sin（π/n)/(1/n)
=lim（t→0）sin（πt)/t
=lim（t→0）πt/t
=π
这个无法用高中知识推导，
用到大学的知识：lim（x→0）sinx/x=1

Answer 3

lim（n→∞）n*sin（π/n)
=lim（n→∞）sin（π/n)/(1/n)
=lim（t→0）sin（πt)/t
=lim（t→0）πt/t
=π
lim（x→0）sinx/x=1可以从图像来理解 sinx就是单位圆上某点到X轴的距离，X就是弧度，也就是说单位圆上X角度所对的圆弧长度，由图像可知当X越来越小的时候，圆弧与点到X轴的距离越来越靠近，当无限小时sinx=X了

Answer 4

高数就用洛必达定理，高中方法就不知道了。