Question

4/x(x²+4)=A/x+Bx+C/x²+4 求A B C

Answer 1

此题应该是把4/x(x²+4)化成部分分式A/x+(Bx+C)/(x²+4)吧

把A/x+(Bx+C)/(x²+4)通分
得原式
=【A(x²+4)+x(Bx+C)】/ x(x²+4)
=(Ax²+4A+Bx²+Cx) / x(x²+4)
=【(A+B)x²+Cx+4A】/ x(x²+4)

对比4/x(x²+4)易知
A+B=0
C=0
4A=4
解得 A=1，B=-1，C=0

所以4/x(x²+4)= (1/x)-x/(x²+4)

【拓展：对于分子、分母都是多项式的方式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个份是叫做真分式。
有时候，需要把一个真分式化为几个更简单的真分式的代数和，如2x/(x²-4)=1/(x-2)+1/(x+2)
像这种恒等变形称为把分式化为部分分式。
将一个真分式化为部分分式时，一般先将分式的分母分解因式，再根据分母的因式次数假设分解后的部分分式，最后用待定系数法求解。

看一道经典例题：将(x³+16)/(x-2)^4化为部分分式
设x-2=t，则x=2+t，t≠0，于是
x³+16=(2+t)³+16=t³+6t²+12t+24
所以 (x³+16)/(x-2)^4
=( t³+6t²+12t+24)/t^4
=1/t+6/t²+12/t³+24/t^4

即(x³+16)/(x-2)^4
=1/(x-2)+6/(x-2)²+12/(x-2)³+24/(x-2)^4

【上题中分母是(x+a)^n的形式，解答过程没有直接用待定系数法而是用换元法，当分母次数较高而分子又较简单时，用换元法比待定系数法简单】

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