Question

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱CC1的长是2根号2，点D是侧棱 CC1的中点。

求（1）求直线AD与侧面BB1C1C所成的角；（2）求二面角A-BD-C的正切值；（3）求点C到平面ABD的距离。

Answer 1

（1）由题可知作BC中点E，连AE,则AE⊥BC
所以AE⊥平面BB1C1C
∠ADE是直线AD与侧面BB1C1C所成的角
直角三角形ADE中
sin∠ADE=AE/AD=√3/√[2^2+(√2)^2]=√2/2
∠ADE=45°
（2）用射影面积法，设二面角A-BD-C的的大小为a，则
cosa=△EBD面积/△ABD面积=1/2*1*√2/1/2*2*√5=√10/10
所以tana=3
(3)用等体积法，三棱锥C--ABD与D--ABC体积相等，设点C到平面ABD的距离h。即
1/3*△ABD面积*h=1/3*△ABC面积*DC
1/3*1/2*2*√5*h=1/3*1/2*2*√3*√2
所以h=√30/5