Question

证明：设G是有限群，n整除|G|,且G中仅有一个n阶子群H，则H是G 的正规子群。

希望热心的网友快点作答~~~~~

Answer 1

对于任意g属于G，考虑群N=gHg^(-1)
现在证N是群，首先可以得到的是N中元素个数与N中的元素个数相等
任取a,b属于N，则存在x,y属于H，使得
a=gxg^(-1)，b=gyg^(-1)
所以ab^(-1) = gxg^(-1)gy^(1)g^(-1) = gxy^(-1)g^(-1)
而xy^(-1)属于H
所以ab^(-1)属于N
所以N是群
所以N也是G的n阶子群
而G只有一个n阶子群
所以N=H
所以H是G的正规子群

Answer 2

任意g属于G，考虑群N=gHg^(-1)
N中元素个数与H中的元素个数相等
任取a,b属于N，则存在x,y属于H，使得
a=gxg^(-1)，b=gyg^(-1)
所以ab^(-1) = gxg^(-1)gy^(1)g^(-1) = gxy^(-1)g^(-1)
而xy^(-1)属于H
所以ab^(-1)属于N
所以N是群
所以N也是G的n阶子群
而G只有一个n阶子群
所以N=H
所以H是G的正规子群

Answer 3

作点修改：对于任意g属于G，考虑群N=gHg^(-1)
现在证N是群，首先可以得到的是N中元素个数与H中的元素个数相等
任取a,b属于N，则存在x,y属于H，使得
a=gxg^(-1)，b=gyg^(-1)
所以ab = gxg^(-1)gyg^(-1) = gxyg^(-1)
而xy属于H
所以ab属于N
所以N是群
所以N也是G的n阶子群
而G只有一个n阶子群
所以N=H
所以H是G的正规子群