Question

已知等腰梯形ABCD，AD//BC，直线MN是对称轴，P是MN上一点，CE//AB，BP交CD于F

（1）若P在梯形内部，求证BP²=PE*PE
(2)若p在梯形外部，上述结论是否成立？若成立请证明，若不成立，说明理由

Answer 1

应该是求证：BP²=PE•PF；

证明： 

（1）P在梯形内部时，连接PC，(BP交直线CE于E)

 ∵ 直线MN是等腰梯形ABCD的对称轴，

∴BP=CP

∠PBC=∠PCB

∠ABC=∠DCB。

又  ∵CE//AB

∴∠E=∠ABE

∴∠PCD=∠E

∵∠FPC=∠FPC

∴△PCF∽△PEC

∴PC/PE=PF/PC

∴BP²=PE•PF

(2)p在梯形外部时，

连接PC， ∵ 直线MN是等腰梯形ABCD的对称轴，

   ∴  BP=CP

          ∠PBC=∠PCB

          ∠ABC=∠DCB。

又 ∵CE//AB

     ∴∠E=∠ABE

     ∴∠PCD=∠E

    ∵∠FPC=∠FPC   

     ∴∠ABC=∠BCE

    ∠F=∠DCB-∠CBF

    ∴△PCF∽△PEC

    ∴PC/PE=PF/PC

    ∴BP²=PE•PF

所以p在梯形外部，上述结论也成立。