Question

AD^2=AB^2*CD+AC^2*BD-BD*CD*BC/BC是什么公式？

Answer 1

斯台沃特定理

任意三角形ABC中，D是底边BC上一点，连结AD，则有：AB^2*CD+AC^2*BD=(AD^2+BD*DC)*BC
　　也可以有另一种表达形式：设BD＝u，DC＝v，则有：
　　AD^2＝(b^2×u+c^2×v)/a-uv
　　证明：过点A作AE⊥BC于E, 设DE = x(假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C）
　　则
　　AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2
　　若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v
　　所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2ux
　　AD^2 = c^2 - u^2 - 2ux
　　1式+2式得
　　AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)
　　故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv
　　1)当AD是⊿ABC中线时， u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/2
　　2)当AD是⊿ABC内角平分线时， 由三角形内角平分线的性质， 得u = ac/(b+c), v =ab/(b+c)
　　设s = (a+b+c)/2
　　得 AD^2 = 4/(a+b)^2 *(bcs(s-a))
　　3)当AD是⊿ABC高时， AD^2 = b^2 - u^2 = c^2 - v^2
　　再由 u+v = a
　　得
　　AD^2 = 1/4a^2(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4)