Question

在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为：x=2cosa y=2+2sina(a为参数) M是C1的动点，P点满足

向量OP=2倍的向量OM，P点的轨迹方程为曲线C2。
求C2的方程
在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π/3与C1的异于极点的坐标的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB的模长

Answer 1

解：（1）设P（x，y），则由条件知M（ x/2， y/2）．由于M点在C1上，
所以 x/2=2cosα
y/2=2+2sinα
即x=4cosα
y=4+4sinα
从而C2的参数方程为
x=4cosα
y=4+4sinα（α为参数）
（2）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ= π/3与C1的交点A的极径为ρ1=4sin π/3，
射线θ= π/3与C2的交点B的极径为ρ2=8sin π/3．
所以|AB|=|ρ2-ρ1|= 2√3．

追问

射线θ= π/3与C1的交点A的极径为ρ1=4sin π/3，
射线θ= π/3与C2的交点B的极径为ρ2=8sin π/3 是什么意思？
极径不就是 4和8 吗？ 为什么要都再乘以 sinπ/3
麻烦 您 图解一下

Answer 2

解：（I）设P（x，y），则由条件知M（x 2 ，y 2 ）．由于M点在C1上，
所以 x 2 =2cosα y 2 =2+2sinα 即 x=4cosα y=4+4sinα 从而C2的参数方程为
x=4cosα y=4+4sinα （α为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ=π 3 与C1的交点A的极径为ρ1=4sinπ 3 ，
射线θ=π 3 与C2的交点B的极径为ρ2=8sinπ 3 ．
所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2根号 3 ．

Answer 3

极坐标下的函数表示极径ρ（坐标点到原点的距离）与极角θ（原点到坐标点的矢量与极轴的夹角，类似直角坐标系中的倾角）的关系，也就是说在点移动产生c1 ，c2轨迹的过程中，原点到动点的矢量的长度ρ随着该矢量的倾角θ在变化，通过联立方程的手段解出射线与c1c2的两个交点的（θ，ρ）分别是（π/3，4sin π/3）（π/3，8sin π/3）或者简写为（π/3，2√3）（π/3，4√3），由于两点在一条射线上，所以直接将两点到原点的距离相减得到两点间的距离2√3。