Question

求一个有关定积分公式的证明

I[n]=∫[0,π/2](sin^n(x))dx=∫[0,π/2](cos^n(x))dx=(n-1)/n*I[n-2]
这应该是个序列，会不会叫“伊萨克牛顿序列”……
一直到第三个等号之前我都理解，最后一步如何证明？
本人将I1到I5都求出来了，可是找不到规律……
求不定积分时，我一直用降次的方法求，但是对于任意n好像没有公用的降次方法。
此外，拒绝数学归纳法！
明白了
∫(sinx)^ndx
=∫[(sinx)^(n-1)sinxdx]
=(sinx)^(n-1)cosx-∫[-cosx*(n-1)*(sinx)^(n-2)cosxdx]
=(sinx)^(n-1)cosx+∫[(n-1)(sinx)^(n-2)-(n-1)(sinx)^n]dx
所以(n-1)*I[n-2]-n*I[n]=0
证毕

Answer 1

用两次分部积分法推导得出
∫[0,π/2](sin^n(x))dx=∫[0,π/2](sinx)(sin^(n-1)(x))dx

追问

详细点可以么？sin^(n-1)(x)我还是不会积分……。
还有，是不是应该分成sin^2(x)和sin^(n-2)(x)，不然最后哪来的I[n-2]啊？

追答

sin^(n-1)(x)=sinx*sin^(n-2)x再做一次分部积分
因为正弦余弦的微积分运算互逆，所以分部积分后积分号外的部分能够约去

追问

抱歉，可以有完整的证明吗？

Answer 2

=-cosxsin^(n-1)x|(π/2,0)-∫(π/2,0)[cos^2x(n-1)sin^(n-2)xdx]
=(n-1)[∫(π/2,0)sin^(n-2)xdx-I(n)]
=(n-1)[I(n-2)-I(n)]
整理得证

Answer 3

I[n]是什么啊？？？

追问

I[n]
方括号表示下标，即I序列的第n项