Question

已知：在四边形ABCD中。AD//BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关

系。

若AB=BC=AC，则AE与EF之间的数量关系是什么？

Answer 1

第一个问题：
∵∠AEF＝∠ACF，∴A、E、C、F共圆，∴∠AFE＝∠ACB。
∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD。
由∠AFE＝∠ACB，∠ACB＝∠CAD，得：∠AFE＝∠CAD，结合∠AEF＝∠ACF，得：
△AEF∽△DCA，∴AE/DC＝EF/AC，∴AE/EF＝DC/AC。
∴AE、EF的数量关系无法确定，当DC＝AC时，AE＝EF；当DC＞AC时，AE＞EF；当DC＜AC
　时，AE＜EF。

第二个问题：
∵∠BAC＝∠D，结合第一个问题时证得的∠ACB＝∠CAD，得：△ABC∽△DCA，再结合第一
　个问题时证得的△AEF∽△DCA，得：△ABC∽△AEF。
∵AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF。

Answer 2

作辅助线：连接AF
∵AB＝BC＝AC
∴△ABC等边三角形　　∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°
∵AD∥BC
∴∠CAD＝∠ACB＝60°
∵∠D＝∠BAC＝60°
∴∠ACD＝60°
∵∠AEF＝∠ACD＝60°
∴A、E、C、F四点共圆
∵∠AFE＝∠ACB＝60°　　（同弧对应的圆周角相等）
∴∠EAF＝180°－∠AFE－∠AEF＝60°
∵∠EAF＝∠AFE＝∠AEF
∴△AEF是等边三角形
　AE＝EF
证毕。

Answer 3

AE=EF

Answer 4

AE等于EF