Question

一道数学题求解

如图，在三角形ABC中，∠ACB=90° ， AC=BC=6 ，点D、E分别在边AB、AC上，且DE//BC，DE:BC=1:3，若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度在射线BC上运动，当点F运动时间t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，射线GE与射线BC相交于点H，AB与GH相交于点O，请解答下列问题：
（1）设△AEG的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为多少秒时，AB⊥GH；
（3）求△GFH的面积

Answer 1

解：（1）设BF=t
由DE：BC=1：3，则AD/BD=AE/EC=1/2
而GA∥BC可得△ADG∽△BDF
∴ AG/BF=1/2
∴AG= 0.5BF=0.5 t
∴S=1/2× AG•AE=1/2 ×1/2 t×2=1/2 t；
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠OAE=45°
若AB⊥GH
则在△AOG、△AOE中，∵∠OGA=∠OAE=∠OEA=45°
∴AG=AE=2
∵已证AG= BF
∴BF=4
∴t=4
当t为4秒时，AB⊥GH；
（3）∵GA∥BH，∴△ADG∽△BDF，△AEG∽△CEH
∴ AG/BF=AD/DB=1/2 ，AG/CH=AE/EC=1/2
∴BF=CH
∴FH=BC=6
∴S△GFH=1/2 ×FH•AC=1/2 ×BC•AC= 1/2×6×6=18．

Answer 2

so easy!
解：（1）相似
设BF=t
由DE：BC=1：3，则AD/BD=AE/EC=1/2
而GA∥BC可得△ADG∽△BDF
∴ AG/BF=1/2
∴AG= 0.5BF=0.5 t
∴S=1/2× AG•AE=1/2 ×1/2 t×2= t；
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠OAE=45°
若AB⊥GH
则在△AOG、△AOE中，∵∠OGA=∠OAE=∠OEA=45°
∴AG=AE=2
∵已证AG= BF
∴BF=4
∴t=4
当t为4秒时，AB⊥GH；
（3）相似
∵GA∥BH，∴△ADG∽△BDF，△AEG∽△CEH
∴ AG/BF=AD/DB=1/2 ，AG/CH=AE/EC=1/2
∴BF=CH
∴FH=BC=6
∴S△GFH=1/2 ×FH•AC=1/2 ×BC•AC= 1/2×6×6=18．