Question

设x属于(0,π/2),求函数y=(2sin²x+1)÷(sin2x)的最小值

Answer 1

1=sin^2x+cos^2x
y=(2sin^2x+sin^2x+cos^2x)/(2sinxcosx)=(3sin^2x+cos^2x)/(2sinxcosx)
y=3/2*tanx+1/2*cotx
设tanx=t cotx=1/t tanx=t属于(0,正无穷)
y=(3t+1/t)/2 显然3t+1/t是对勾函数 3t+1/t>=2根号3
所以 函数最小值为 （2根号3）/2=根号3

Answer 2

设t=sin2x，
由x属于(0,π/2）
得0<t<1
y=(2t^2+1)/t=2t+1/t>=2√(2t*1/t)=2√2。
此时t=√2/2，x=22.5°。

Answer 3

(3sin²x+cos²x)/(2sinxcosx) cosx≠0
=(3tan²x+1)/(2tanx)
=3tanx/2+1/2tanx≥2根号(3./4)=根号3
当且仅当6tan²x=2 x=π/6