Question

求最小值

（x^2+3）/√（x^2+2），^2是平方，√是根号.是高一题，解法不要太高级了

Answer 1

解：（x^2+3）/√（x^2+2）
=[（x^2+2）+1]/√（x^2+2）
=（x^2+2）/√（x^2+2）+1/√（x^2+2）
因为√（x^2+2）≥2≠0,
所以原式=√（x^2+2）+1/√（x^2+2）
设k=√（x^2+2）,k≥√2
原式=k+1/k,
设y=k+1/k
设k1<k2
y1-y2=(k1-k2)+1/k1-1/k2
=(k1-k2)+(k2-k1)/k1`k2
=(k1-k2)(1-1/k1k2)
因为k2>k1≥√2,所以k1-k2<0,1-1/k1k2>0
所以y1-y2<0
即y=k+1/k是升函数
所以当k=√2时，y取得最小值3√2/2，此时x=0

Answer 2

3/2 √2

Answer 3

设t=（x^2+3）/√（x^2+2） 因为t>0,求t的最小值可以先求t²的最小值
t²=(x²+3)²/(x²+2)=(x^4+6x²+9)/(x²+2)=((x^4+2x²)+(4x²+8)+1)/(x²+2)=(x²+2)+1/(x²+2)+2≥9/2
所以t的最小值是3/√2

Answer 4

（x²+3）/√（x²+2）=（x²+2）/√（x²+2）+1/√（x²+2）=√（x²+2）+1/√（x²+2）
知√（x²+2）>=√2
故题目可以理解为求函数x+1/x在定义域[√2,+∞）内的最小值

f(x)=1+1/x的单调性请参考下链接
http://zhidao.baidu.com/question/190368822.html

可知x+1/x在[1，+∞）为单调增区间
因此x+1/x在[√2，+∞）为单调增区间
故此时x+1/x的最小值为√2+1/√2=3√2/2
综上所述（x^2+3）/√（x^2+2）的取值为[3√2/2,+∞）,当且仅当x=0时有最小值3√2/2