Question

设锐角三角形ABC的内角A B C的对边分别为a b c，且bcosC=(2a-c)cosB。求角B的大小，求sinA+sinC的取值范围

要详细过程

Answer 1

先用正弦定理把边化为角。
sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB
sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
sin(B+C)=sinA=2sinAcosB
cosB=1/2
B=π/3(60°)

sinA+sinC=sinA+sin(2π/3-A)
=sinA+√3/2*cosA+1/2*sinA
=sinA*3/2+cosA*√3/2
=√3*sin(A+π/6)
因为 0<A<2π/3，所以 π/6<A+π/6<5π/6
所以 1/2<sin(A+π/6)<=1
因此，sinA+sinC的取值范围是 （√3/2，√3】

Answer 2

（1）bcosC=(2a-c)cosB
b(a＾2+b＾2-c＾2)/2ab=(2a-c)(a＾2+c＾2-b＾2)/2ac
ca＾2+cb＾2-c＾3=2a＾3+2ac＾2-2ab＾2-ca＾2-c＾3+cb＾2
ac=a＾2+c＾2-b＾2
cosB=(a＾2+c＾2-b＾2)/2ac=1/2
∵锐角三角形ABC
∴B=60°
（2）sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]
=(√3)cos[(A-C)/2]
-π/4＜(A-C)/2＜π/4
√2/2＜cos[(A-C)/2]≤1
∴(√6)/2＜sinA+sinC≤√3