Question

设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcosC=(2a-c)cosB，

若b=根号3，则a+c的最大值为？

Answer 1

首先要求出角B的值
解:
bcosC=(2a-c)cosB
b(a＾2+b＾2-c＾2)/2ab=(2a-c)(a＾2+c＾2-b＾2）/2ac
ca＾2+cb＾2-c＾3=2a＾3+2ac＾2-2ab＾2-ca＾2-c＾3+cb＾2
ac=a＾2+c＾2-b＾ 2
cosB=(a＾2+c＾2-b＾2)/2ac=1/2
∵锐角三角形ABC
∴B=60°
因为b=根号3，所以：

利用正弦定理
a/sinA=c/sinC=b/sinB=√3/(√3/2)=2
a=2sinA,c=2sinC=2sin(60°-A)
a+c
=2sinA+2sin(60°-A)
=2sinA+2sin60°cosA-2cos60°sinA
=sinA+√3cosA
=2[sinA*(1/2)+cosA*(√3/2)]
=2(sinAcos60°+cosAsin60°)
=2sin(A+60°)
当A=30°时，a+c有最大值2
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希望对您有所帮助！