Question

小学奥数

一个数除以7余1，除以8余4，除以9余2，这个数最小是多少

Answer 1

题中7、8、9三个数两两互质。
则〔8，9〕=72；〔7，9〕=63；〔7，8〕=56；〔7，8，9〕=504。
为了使72被7除余1，用72×4=288；
使63被8除余1，用53×8=441；
使56被9除余1，用56×5=280。
然后，288×1＋441×4＋280×2=2612，
因为，2612>504，所以，2612－504×5=92，就是所求的数。

中国剩余定理”算理及其应用：
为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆，（三人同行七十稀，五树梅花二一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。）但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。

例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）

关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法

“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。
例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？
解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7＋4＝46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足
“被6除余4，被7除余4”的条件。
46＋42＝88
46＋42＋42＝130
46＋42＋42＋42＝172
这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲
例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？
解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”
4＋7＝11
11＋7＝18
18＋35＝53
这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。
可以试下.

Answer 2

先把这个最小数去掉1，那么就是7的倍数，除以8余3，除以9余1
7的倍数有，7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98，等等
这些7的倍数中在去掉1，那么就除以8余2，整除9
查找发现最小是91满足要求
91在加回一开始去掉的1是92
所以答案是92，此方法适用所有这样的类型题，简单，明了，希望理解学会，我是北京的奥数老师！

Answer 3

先把这个最小数去掉1，那么就是7的倍数，除以8余3，除以9余1
7的倍数有，7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98，等等
这些7的倍数中在去掉1，那么就除以8余2，整除9
查找发现最小是91满足要求
91在加回一开始去掉的1是92

Answer 4

92
解题思路不好说了，多年不学习了。但是分析一下题目给的信息：除以8余4，可知此数是一个偶数，且是四的倍数，又知除以7余1可知一定比一个7的奇数倍的数字大于1（7的偶数倍+1是个奇数），除以9余2也可以得出是比个9的偶数倍大2。由此选合适的倍数推演，个人感觉方法不好，不知道还有没有高人指点。希望有所帮助吧。哎 奥数~中国的奥数感觉不是太成功哦，希望你的孩子真心喜欢才好。
哈哈 看了下奥数老师的解题，证明着确实是一道比较让人无聊的题目.....

Answer 5