Question

已知等腰直角三角形ABC中，角C＝90度，AC＝1，在三角形内求作一点P，使P到三个顶点 距离之和PA＋PB＋PC最

接上，小求出最小值。P是费马点，知道在哪！求最小值就行

Answer 1

令AB的中点为D，以AC为边长向△ABC外作正△ACE，连BE交CD于P。P就是所要作的点。
证明如下：
在PE上取一点F，使CP＝CF。
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴AC＝BC，又AC＝CE，∴BC＝CE，
∴∠CBE＝∠CEP。

∵∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°＋60°＝150°，∠CBE＝（180°－∠BCE）/2＝15°，
∵AD＝BD，AC＝BC，∴∠BCP＝∠ACB/2＝45°。
∴∠CPF＝∠BCP＋∠CBE＝45°＋15°＝60°。而CE＝CP，∴△CPF是正三角形，
∴PC＝PF＝FC，∠CFP＝60°。

由∠CAE＝60°，∠CPF＝60°，∴∠CAE＝∠CPF，∴A、E、C、P共圆，
∴∠APF＝∠ACE＝60°，∠CEF＝∠CAP。
由∠CPF＝60°，∠APF＝60°，得：∠APC＝120°。显然，∠EFC＝180°－∠CFP＝120°。
∴∠EFC＝∠APC，结合作出的EC＝AC，证得的∠CEF＝∠CAP，得：△ECF≌△ACP，
∴EF＝PA。

由EF＝PA，PF＝PC，得：PA＋PB＋PC＝EF＋PF＋PB＝BE。
显然，当P为另一点时，PF＋PB＞BF，即PA＋PB＋PC＞BF＋EF＝BE。
∴点P为BE与CD的交点时，PA＋PB＋PC最小。

此时，过E作EG⊥BC交BC的延长线于G，再过E作EH⊥AC交AC于H。
容易证出：EGCH是矩形，∴EG＝HC，EH＝GC。
而明显有：HC＝AC/2＝1/2，即：EG＝1/2。
还容易算出：EH＝（√3/2）AC＝√3/2，即：GC＝√3/2。
∴BE＝√（EG^2＋BG^2）＝√［（1/2）^2＋（GC＋BC）^2］＝√［1/4＋（√3/2＋1）^2］
＝√（1/4＋3/4＋√3＋1）＝√（2＋√3）＝√［（3＋2√3＋1）/2］＝√［（√3＋1）^2/2］
＝（√3＋1）√（1/2）＝（√6＋√2）/2。
即：PA＋PB＋PC的最小值为（√6＋√2）/2。

Answer 2

费马点问题

Answer 3

我也在做。