Question

等腰直角三角形内一点到底的两顶点的距离分别为1和3,到直角顶点的距离为2.求该三角形面积

Answer 1

设等腰三角形ABC，AB=BC，内的一点为P，PA=1，PB=2，PC=3

把三角形ABC以B为顶点向左旋转90度，这样A点到了A1，C与A重合。P点到P1，即有：P1B=PB=2，P1A=PC=3

因为是旋转90度，所以角P1BP=90，即P1PB是等腰直角三角形那么角P1PB=45
那么PP1=根号（P1B^2+PB^2)=2根2

在三角形P1PA中，P1A^2=9=P1P^2+PA^2
所以P1PA是直角三角形，角P1PA=90

即角APB=角P1PA+角P1PB=90+45=135度

根据余弦定理 ：AB^2=PA^2+PB^2-2PA*PBcosAPB=1+4-2*1*2*(-根2/2)=5+2根2

所以三角形的面积=1/2*AB*BC=1/2*AB*AB=1/2（5+2根2）