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方法1:
dy / dx = y / (2x + 3y)
dx / dy = (2x + 3y) / y = 2x / y + 3 ①
设x / y = t,则x = yt; dx = ydt + tdy
由① ,dx / dy = ydt/dy + t = 2t + 3
ydt/dy = t + 3
dt / (t + 3) = dy / y
Ln(t+3) = Lny + C1
t + 3 = e^C1 * y = C* y
x/y = Cy - 3
x = Cy² - 3y
方法2:
由① x ' - (2 / y) * x = 3
属于典型的一阶线性常微分方程:
y ' + P(x) y =Q(x)
通解为: y = e^(-∫Pdx) * [∫Q * e^(∫Pdx)dx + C] ---------遗憾的是公式不容易看(书上有的)
---------这种方法是最快且不容易出错的,缺点是需要记忆,且计算量较大;
---------优点是一次就可以解出所需要的答案,不用考虑特解、解结构等;
---------所以尽量记牢;
对你给的这个来说: x ' - (2 / y) * x = 3
即 P = -2/y; Q(x) = 3
所以通解为: x = e^(∫2/ydy) * [∫3 * e^(-∫2/ydy)dy + C]
= y² * [∫3 / y²dy + C]
= y² * [ - 3/y + C ]
= - 3y + Cy²
答案,通解为: x = Cy² - 3y
方法3,一楼电灯剑客的方法也不错,但过程中需要处理分式
dy / dx = y / (2x + 3y)
dx / dy = (2x + 3y) / y = 2x / y + 3 ①
设x / y = t,则x = yt; dx = ydt + tdy
由① ,dx / dy = ydt/dy + t = 2t + 3
ydt/dy = t + 3
dt / (t + 3) = dy / y
Ln(t+3) = Lny + C1
t + 3 = e^C1 * y = C* y
x/y = Cy - 3
x = Cy² - 3y
方法2:
由① x ' - (2 / y) * x = 3
属于典型的一阶线性常微分方程:
y ' + P(x) y =Q(x)
通解为: y = e^(-∫Pdx) * [∫Q * e^(∫Pdx)dx + C] ---------遗憾的是公式不容易看(书上有的)
---------这种方法是最快且不容易出错的,缺点是需要记忆,且计算量较大;
---------优点是一次就可以解出所需要的答案,不用考虑特解、解结构等;
---------所以尽量记牢;
对你给的这个来说: x ' - (2 / y) * x = 3
即 P = -2/y; Q(x) = 3
所以通解为: x = e^(∫2/ydy) * [∫3 * e^(-∫2/ydy)dy + C]
= y² * [∫3 / y²dy + C]
= y² * [ - 3/y + C ]
= - 3y + Cy²
答案,通解为: x = Cy² - 3y
方法3,一楼电灯剑客的方法也不错,但过程中需要处理分式
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这个是齐次方程,做一步代换y(x)=x*t(x),那么y'=t+xt',然后两边同除掉x就可以得到可分离变量的方程,具体的你自己去算。
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设y=xu y‘=xu’+u
所以原式化为
y‘=y/(2x+3y)
xu’+u=xu/(2x+3xu)=u/(2+3u)
xu’=-u(u+3)/(2+3u)
u‘(2+3u)/u(u+3)=1/(-x)
u'((2/3u)+(7/3(u+3)))=1/(-x)
∫du*((2/3u)+(7/3(u+3)))=∫dx/-x
即2/3lnu+7/3ln(u+3)=-lnx+lnC
即u^(2/3)*(u+3)^(7/3)*x=c
即(y/x)^(2/3)*(y/x+3)^(7/3)*x=c
所以原式化为
y‘=y/(2x+3y)
xu’+u=xu/(2x+3xu)=u/(2+3u)
xu’=-u(u+3)/(2+3u)
u‘(2+3u)/u(u+3)=1/(-x)
u'((2/3u)+(7/3(u+3)))=1/(-x)
∫du*((2/3u)+(7/3(u+3)))=∫dx/-x
即2/3lnu+7/3ln(u+3)=-lnx+lnC
即u^(2/3)*(u+3)^(7/3)*x=c
即(y/x)^(2/3)*(y/x+3)^(7/3)*x=c
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