Question

如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N,Q,分别是AB,PC,PD的中点。求证。MN//平面PAD.求证MN⊥CD.

若∠PDA=45º,求证MN⊥平面PDC

Answer 1

证明：（1）∵Q、N分别为PD PC中点 ∴在△PDC中 QN平行且等于½DC
又∵矩形ABCD中AB平行且等于DC M为AB中点
∴AM平行且等于½DC
∴AM平行且等于QN
∴四边形AMNQ为平行四边形 故MN∥AQ
又∵MN不包含于面PAD AQ包含于面PAD
∴MN∥平面PAD

（2）∵NQ∥CD
∴要证MN⊥CD 只需证MN⊥NQ
故 ∵PA⊥矩形ABCD AB包含于面ABCD
∴PA⊥AB
又∵矩形ABCD中AB⊥AD 且PA∩AD=A
∴AB⊥面PAD
∴AB⊥AQ
∴平行四边形ABCD为矩形
∴MN⊥QN
∴MN⊥CD

（3）由（2）得MN⊥CD
又∵∠PDA=45°∠PAD=90°
∴△PAD为等腰直角三角形
又∵Q为PD中点 ∴AQ⊥PD
且∵AQ∥MN
∴MN⊥PD 且PD交CD=D
∴MN⊥平面PDC

Answer 2

简单说一下 因为MQ为中位线 易得MQ//CD//AB ，且MN=AN
所以四边形MNQA是平行四边形 MN//AQ 所以要证MN⊥CD 即证AQ⊥AB 又
因为PA⊥矩形ABCD所在平面 所以PA⊥AB ，AB⊥AD 所以AB⊥平面PAD 所以AQ⊥AB