Question

如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；  ...

如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN⊥CD； （2）若PA=AB=AD=2，求二面角N-AB-C的大小．

Answer 1

（1）证明：如图，取CD的中点Q，连接MQ，NQ，
则NQ∥CD，MQ∥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD，且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD，
∵NQ∥PD，∴CD⊥NQ，①
又∵MQ∥AD，CD⊥AD，∴CD⊥MQ，②，
由①②且MQ∩NQ=Q，∴CD⊥平面MNQ，
∵MN?平面MNQ，∴MN⊥CD．（5分）
（2）解：∵M，N分别为A降CD的中点，又M为AB的中点，
∴MQ⊥AB，又MN⊥AB，
∴∠NMQ是二面角N-AB-C的平面角，
由（1）知AN=

1

2

PC＝

1

2

PA2+AC2

＝

3

，
∴MN=

AN2?AM2

＝

2

，
又NQ=

1

2

PD＝

2

，MQ=AD=2，
∴∠NMQ=45°，
∴二面角N-AB-C的大小为45°．