Question

帮忙解答奥数题，谢谢。

1. 对于每个正整数n， 让f(n)代表最小的正整数s, 并且1+2+3+...+(s-1) +s 的值能被n整除。举个例子，f(5) = 4因为1+2+3+4的值能够被5整除，而1或1+2或1+2+3 都不能被5整除。
a) 找出所有正整数a的值，使f(a)= 8
b) 证明满足 f(b+1) - f(b) > 2009 的正整数b有无数个
c) 找出并证明能够使f(c) = f(c+k)中c有正奇数解的k的最小正整数值。

2. a,b,c 都是正整数，找出所有组（a,b,c) ， 使 a!=4(b!) + 10 (c!)

Answer 1

你好，以下是对此题的解答
1.a) f(a)=8，则1+2+...+8=36能被a整除，36有因数36、18、12、9、6、4、3、2、1，其中f(6)=3，f(4)=7，f(3)=2、f(2)=3、f(1)=1均不符合
应舍去，所以a可以是36、18、12、9。
b) 若要证明有无数个，只需找到某种情况下有无数个就可以。为了让f(b+1)-f(b)尽量大，则要f(b+1)尽量大，f(b)尽量小。
先看f(b+1)：对于任意b+1=2^p，若要使1+2+...+s=s(s+1)/2能被2^p整除，即s(s+1)能被2^(p+1)整除，s和s+1一奇一偶，所以其中的偶数应该
能被2^(p+1)整除，另外s最小，所以s+1=2^(p+1)，s=2^(p+1)-1，所以f(b+1)=f(2^p)=2^(p+1)-1；
再来看f(b)：b=2^p-1，若要使1+2+...+s=s(s+1)/2能被2^p-1整除，s=2^p-2即可满足，需要指出的是s=2^p-2并不一定是最小能满足s(s+1)/2
被2^p-1整除的s，所以f(b)<=2^p-2。
前面构造出一种情况，即b=2^p-1时，f(b+1)-f(b)>=[2^(p+1)-1]-(2^p-2)=2^p+1，只需再使2^p+1>2009，即p>11时，就可以达到f(b+1)-f(b)
>2009，而这样的p是无数的，所以满足题意的b也有无数个。
c) 由a)中f(9)=f(12)=f(9+3)=8，所以猜想k最小为3。下面只需证明k=1和k=2时不成立即可。
对于正奇数c，1+2+...+s=s(s+1)/2能被c整除，只需s=c-1即可满足，但这个s并不一定是最小的，设f(c)=m，则m<=c-1。若要f(c)=f(c+1)或f(c)=f(c+2)，则要求m(m+1)/2既能被c整除又能被c+1或c+2整除。当c为大于1的奇数时，c和c+1以及c和c+2都是互质的，因此要求m(m+1)/2能被c*(c+1)或者c*(c+2)整除，而m<=c-1，所以m(m+1)/2<=(c-1)*c/2<c*(c+1)<c*(c+2)，所以m(m+1)/2不可能同时被c和c+1或c和c+2整除，即k不能为1或2，所以k最小只能等于3。

第二题：
首先肯定知道的是a是三个数中最大的，但b和c哪个大哪个小不确定，就按b和c的大小关系进行分类：
(1) b>c
两边同除以b!得a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+10/[(c+1)*(c+2)*...*(b-1)*b] .......(a)
左边为整数，所以要求10/[(c+1)*(c+2)*...*(b-1)*b]也要是整数，由于10=10*1=5*2
所以(c+1)*(c+2)*...*(b-1)*b只能等于10或者5或者2：
若等于10，则b=10，c=9，代回(a)得到a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+1=5，无解；
若等于5，则b=5，c=4，带回(a)得到a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+2=6，a=6；
若等于2，则b=2，c=1，带回(a)得到a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+5=9，无解。
(2) b<c
两边同除以c!得a*(a-1)*...*(c+2)*(c+1)=4/[(b+1)*(b+2)*...*(c-1)*c]+10 .......(b)
同(1)可得(b+1)*(b+2)*...*(c-1)*c只能等于4或者2：
若等于4，则b=3，c=4，带回(b)无解；
若等于2，则b=1，c=2，带回(b)得a=4。
(3) b=c
两边同除以b!得a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+10=14，所以a=14，b=c=13。
综上满足题意的(a,b,c)有(6,5,4)、(4,1,2)和(14,13,13)。

希望能帮助到你，如有疑问请在追问中提出，谢谢~

Answer 2

第二道题你确定没打错吗 ，我见过的这道题好像不是这样子的诶，但具体是怎样的我也不是很清楚。

追问

看了你的名字，我就知道你为什么不太清楚了~呵呵呵

追答

有你这样追问的吗，要我追问，我就会问，那你把你不清楚的讲清楚点，学会了吗，还有啊，别把追问当儿戏，追多了要付财富值的！

追问

哈哈哈，开个玩笑，财富值多了也没什么用。你都说不清楚了，我再让你讲清楚也不可能，不过看见你的名字挺符合你的回答，就幽默了一下，还是要谢谢你的提醒。

追答

不用谢不用谢！嘻嘻！

Answer 3

(1) b>c
两边同除以b!得a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+10/[(c+1)*(c+2)*...*(b-1)*b] .......(a)
左边为整数，所以要求10/[(c+1)*(c+2)*...*(b-1)*b]也要是整数，由于10=10*1=5*2
所以(c+1)*(c+2)*...*(b-1)*b只能等于10或者5或者2：
若等于10，则b=10，c=9，代回(a)得到a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+1=5，无解；
若等于5，则b=5，c=4，带回(a)得到a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+2=6，a=6；
若等于2，则b=2，c=1，带回(a)得到a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+5=9，无解。
(2) b<c
两边同除以c!得a*(a-1)*...*(c+2)*(c+1)=4/[(b+1)*(b+2)*...*(c-1)*c]+10 .......(b)
同(1)可得(b+1)*(b+2)*...*(c-1)*c只能等于4或者2：
若等于4，则b=3，c=4，带回(b)无解；
若等于2，则b=1，c=2，带回(b)得a=4。
(3) b=c
两边同除以b!得a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+10=14，所以a=14，b=c=13。
综上满足题意的(a,b,c)有(6,5,4)、(4,1,2)和(14,13,13)。

Answer 4

你好，以下是对此题的解答
1.a)
f(a)=8，则1+2+...+8=36能被a整除，36有因数36、18、12、9、6、4、3、2、1，其中f(6)=3，f(4)=7，f(3)=2、f(2)=3、f(1)=1均不符合
应舍去，所以a可以是36、18、12、9。
b)
若要证明有无数个，只需找到某种情况下有无数个就可以。为了让f(b+1)-f(b)尽量大，则要f(b+1)尽量大，f(b)尽量小。
先看f(b+1)：对于任意b+1=2^p，若要使1+2+...+s=s(s+1)/2能被2^p整除，即s(s+1)能被2^(p+1)整除，s和s+1一奇一偶，所以其中的偶数应该
能被2^(p+1)整除，另外s最小，所以s+1=2^(p+1)，s=2^(p+1)-1，所以f(b+1)=f(2^p)=2^(p+1)-1；
再来看f(b)：b=2^p-1，若要使1+2+...+s=s(s+1)/2能被2^p-1整除，s=2^p-2即可满足，需要指出的是s=2^p-2并不一定是最小能满足s(s+1)/2
被2^p-1整除的s，所以f(b)<=2^p-2。
前面构造出一种情况，即b=2^p-1时，f(b+1)-f(b)>=[2^(p+1)-1]-(2^p-2)=2^p+1，只需再使2^p+1>2009，即p>11时，就可以达到f(b+1)-f(b)
>2009，而这样的p是无数的，所以满足题意的b也有无数个。
c)
由a)中f(9)=f(12)=f(9+3)=8，所以猜想k最小为3。下面只需证明k=1和k=2时不成立即可。
对于正奇数c，1+2+...+s=s(s+1)/2能被c整除，只需s=c-1即可满足，但这个s并不一定是最小的，设f(c)=m，则m<=c-1。若要f(c)=f(c+1)或f(c)=f(c+2)，则要求m(m+1)/2既能被c整除又能被c+1或c+2整除。当c为大于1的奇数时，c和c+1以及c和c+2都是互质的，因此要求m(m+1)/2能被c*(c+1)或者c*(c+2)整除，而m<=c-1，所以m(m+1)/2<=(c-1)*c/2<c*(c+1)<c*(c+2)，所以m(m+1)/2不可能同时被c和c+1或c和c+2整除，即k不能为1或2，所以k最小只能等于3。
第二题：
首先肯定知道的是a是三个数中最大的，但b和c哪个大哪个小不确定，就按b和c的大小关系进行分类：
(1)
b>c
两边同除以b!得a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+10/[(c+1)*(c+2)*...*(b-1)*b]
.......(a)
左边为整数，所以要求10/[(c+1)*(c+2)*...*(b-1)*b]也要是整数，由于10=10*1=5*2
所以(c+1)*(c+2)*...*(b-1)*b只能等于10或者5或者2：
若等于10，则b=10，c=9，代回(a)得到a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+1=5，无解；
若等于5，则b=5，c=4，带回(a)得到a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+2=6，a=6；
若等于2，则b=2，c=1，带回(a)得到a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+5=9，无解。
(2)
b<c
两边同除以c!得a*(a-1)*...*(c+2)*(c+1)=4/[(b+1)*(b+2)*...*(c-1)*c]+10
.......(b)
同(1)可得(b+1)*(b+2)*...*(c-1)*c只能等于4或者2：
若等于4，则b=3，c=4，带回(b)无解；
若等于2，则b=1，c=2，带回(b)得a=4。
(3)
b=c
两边同除以b!得a*(a-1)*...*(b+2)*(b+1)=4+10=14，所以a=14，b=c=13。
综上满足题意的(a,b,c)有(6,5,4)、(4,1,2)和(14,13,13)。
希望能帮助到你，如有疑问请在追问中提出，谢谢~

Answer 5

两列火车同时从甲、乙两站出发，相向而行，120分钟后相遇。两列火车均提速20%以后，再从两站同时相向出发，经过___100____分钟后相遇。