Question

求助~不定积分的问题~

∫1/(2+3cosx)dx=? 另外,请问万能代换在什么情况下用?只有t=tan(x/2)这一种代换?

Answer 1

∫1/(2+3cosx)dx=? 另外,请问万能代换在什么情况下用?只有t=tan(x/2)这一种代换?
解：用万能替换：u=tan(x/2)，则x=arctanx，cosx=(1-u²)/(1+u²)，dx=2du/(1+u²)，代入原式化简
得原式=∫du/(2-u²)=∫du/[(√2-u)(√2+u)=(1/2√2)∫[1/(√2-u)+1/(√2+u)]du
=(√2/4)[∫du/(√2-u)+∫du/(√2+u)]=(√2/4)[-∫d(√2-u)/(√2-u)+∫d(√2+u)/(√2+u)]
=(√2/4)[-ln︱√2-u︱+ln︱√2+u︱]+C=(√2/4)ln︱(√2+u)/(√2-u)︱+C.
万能代换，一般用于三角函数有理式的积分。。

追问

那万能代换只有t=tan(x/2)这一种代换方法?我不是光指这一道题目.

追答

所谓万能代换就是指t=tan(x/2)这一种。别的代换，都不够资格戴上“万能”的桂冠。