Question

已知a，b，c，分别为三角形的三边长，试说明（a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2<0

Answer 1

（a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
=(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因为a,b,c是三角形三边长，所以两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
所以上式小于零

Answer 2

证明：

由余弦定理知
a²+b²-c²=2abcosC
∴(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(2abcosC)²-4a²b²
=4a²b²(cos²C-1)
=-4a²b²sin²C
又a,b,c分别为三角形的三边长
∴a≠0, b≠0, sinC≠0
∴-4a²b²sin²C<0
∴(a²+b²-c²)²-4a²b²<0

证毕