Question

将lnx展成x-3的幂级数

用间接展开的方法！！！

Answer 1

逐项求导：

(lnx)'

＝1/x

＝1/(x-3+3)

＝1/3×1/[1+(x-3)/3]

＝1/3×∑[(-1)^n×(x-3)^n/3^n]

＝∑[(-1)^n×(x-3)^n/3^(n+1)]，n从0开始取值。收敛范围是|x-3|＜3，即0＜x＜6

再从3到x逐项积分：lnx＝ln3＋∑[(-1)^n×1/(n+1)×(x-3)^(n+1)/3^n]，n从0开始取值。收敛范围是0＜x≤6。

幂级数解法

求解常微分方程的一种方法，特别是当微分方程的解不能用初等函数或或其积分式表达时，就要寻求其他求解方法，尤其是近似求解方法，幂级数解法就是常用的近似求解方法。

用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程，例如:贝塞尔方程、勒让德方程。

Answer 2

逐项求导：(lnx)'＝1/x＝1/(x-3+3)＝1/3×1/[1+(x-3)/3]＝1/3×∑[(-1)^n×(x-3)^n/3^n]＝∑[(-1)^n×(x-3)^n/3^(n+1)]，n从0开始取值。收敛范围是|x-3|＜3，即0＜x＜6
再从3到x逐项积分：lnx＝ln3＋∑[(-1)^n×1/(n+1)×(x-3)^(n+1)/3^n]，n从0开始取值。收敛范围是0＜x≤6