Question

请数学高手解释这道关于P级数证明的例题:判定P级数∑1/n^p(∑的下面是 n=1 上面是∞)=1+1/2^p+1/3^p+…

例题:判定P级数∑1/n^p(∑的下面是 n=1 上面是∞)=1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+… （p>0）的收敛性。
解：显然，P=1时，原级数为调和级数，∑1/n(∑的下面是 n=1 上面是∞)发散。
当0＜p＜1时，Un=1/n^p≥1/n，由于级数∑1/n(∑的下面是 n=1 上面是∞)发散，由比较收敛法知，此时级数发散。
当P>1时，将原级数依下列形式添加括号
1+(1/2^p+1/3^p)+(1/4^p+1/5^p+1/6^p+1/7^p)+(1/8^p+...+1/15^p)+...,
新级数的通项
Un=1/[2^(n-1)]^p+1/[2^(n-1) +1]^p+...+1/[2^(n-1)+...2^(n-1) -1]^p≤
2^(n-1)/[2^(n-1)]^p=1/[2^(n-1)]^p-1,n=1,2,3...
而级数
∑1/n(∑的下面是 n=1 上面是∞)1/[2^(n-1)]^p-1=∑1/n(∑的下面是 n=1 上面是∞)1/[2^(p-1)]^n-1=∑1/n(∑的下面是 n=1 上面是∞)[1/2^(p-1)]^n-1 收敛，利用级数的性质和比较审敛法知，级数收敛。

请问：1、将原级数依下列形式添加括号1+(1/2^p+1/3^p)+(1/4^p+1/5^p+1/6^p+1/7^p)+(1/8^p+...+1/15^p)+...,
新级数的通项
Un=1/[2^(n-1)]^p+1/[2^(n-1) +1]^p+...+1/[2^(n-1)+...2^(n-1) -1]^p≤
2^(n-1)/[2^(n-1)]^p=1/[2^(n-1)]^p-1,n=1,2,3...

这个通项是怎么个通项，1/[2^(n-1)]^p只能对应1吗？[2^(n-1)]^p中n只能取1吗？(1/2^p+1/3^p)和1/[2^(n-1) +1]^p是一 一对应吗？添加括号后和新级数的通项是什么关系？

Answer 1

添加括号后，新级数的每一项进行放大，第一项1保持不变，其余每项都把分母换为最小的一个，比如第二项1/2^p+1/3^p＜2/2^p＝1/2^(p-1)，第三项1/4^p+1/5^p+1/6^p+1/7^p＜4/4^p＝1/2^(2p-2)，第四项放大为8/8^p＝1/2^(3p-3)，......。这样，新级数的通项始终小于等于一个等比级数1+1/2^(p-1)+1/2^(2p-2)+1/2^(3p-3)+...的通项

Answer 2

我的娘呀、、、