Question

在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b.c，且bcosC=(2a-c)cosB 1）求角B的大小 2）求的sinA+sinC取

在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b.c，且bcosC=(2a-c)cosB 1）求角B的大小 2）求的sinA+sinC取值范围 3）若b的平方=ac，试确定三角形ABC的形状

Answer 1

(1)
bcosC=(2a-c)cosB
b(a^2+b^2-c^2)/2ab=(2a-c)(a^2+c^2-b^2)/2ac
(a^2+b^2-c^2)c=(2a-c)(a^2+c^2+b^2)
a^2c=2a^3+2ac^2-a^2c-2ab^2
ac=a^2+c^2-b^2
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=ac/2ac=1/2
(2)
sinA+sinC
=sin[π-(B+C)]+sinC
=sin(B+C)+sinC
=sinBcosC+cosBsinC+sinC
=√3/2cosC+3/2sinC
=√3sin(C+π/6)
sinA+sinC≤√3
(3)
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(a^2+c^2-ac)/2ac=1/2
a^2+c^2-ac=ac
a^2+c^2-2ac=0
(a-c)^2=0
a=c，B=π/3
∴△ABC为等边三角形

Answer 2

(1)根据正弦定理 a/SinA=b/SinB=c/SinC
bcosC=(2a-c)cosB 化为
CosC/CosB=(2a-c)/b=(2SinA-SinC)/SinB
则SinB CosC = 2SinACosB - CosB SinC
Sin(B+C) = 2 SinACosB
SinA=2SinACosB, CosB=1/2, B=60
(2)SinA+SinC=SinA+Sin(180-A-B)=SinA+Sin(120-A)
=SinA+V3CosA/2+SinA/2
=V3(V3/2SinA+1/2CosA)
=V3(Sin(A+30))
(3)Sinb ^2 =SinA SinC
SinA SinC = 3/2同样化成角A式，加以确定。