Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
第2题第1小问面积的求法

Answer 1

解：过点D作DE垂直BC交BC于E,则，DE=AB=8
直接三角形CDE中，CE=√(CD^2-DE^2)=6
BC=CE+BE=2+6=8
S梯形ABCD=（2+8）*10/2=50
(2).假设存在点P，使PQ平分梯形的周长
则AP+AD+DQ+PQ=BP+BC+CQ+PQ
即：AP+AD+DQ=BP+BC+CQ
经过时间t，BP=2t，AP=8-2t
CQ=2t DQ=10-2t
代入AP+AD+DQ=BP+BC+CQ
得：（8-2t）+2+（10-2t）=2t+8+2t
解得：t=1.5
故经过1.5秒后，PQ将梯形周长平分
此时不平分面积
假设存在T，使PDQ为等腰三角形
AP=8-2T DQ=10-2T
过点Q作QF垂直AB交AB于F
则QF=0.8(10-2T)
过点Q作QG垂直BC交BC于G
同理可得：QG=1.6T
PF=PB-BF=PB-QG=8-3.2T
PQ=√(PF^2+QF^2)=√(128-16.8T+12.8T^2)
显然三角形PDQ中，DP不等于DQ
故DQ=PQ
即：10-2T=√(128-16.8T+12.8T^2)
后面的自己算了，算出来就是最后结果，我没带笔，算起来有点麻烦

Answer 2

（1）S=40（哈哈，我相信你第一问应该没问题的，过程我就不写了哈）
（2）①t=1.5不会平分面积（这道题也非常容易，过程我就不写了哈。。。。。）
②分两种情况：
第一种：PD=DQ
DQ=10-2t ，PD^2=4+（8-2t）^2
(10-2t)^2 =4+（8-2t）^2
解得：t=4
第二种：DQ=PQ
PQ^2=[2t-(40-8t)/5]^2+[8-(30-6t)/5]^2
(10-2t)^2 =[2t-(40-8t)/5]^2+[8-(30-6t)/5]^2
解得：t=(8+√584)/13(哈哈，算得有点复杂哈，有段时间没碰数学了，计算能力有点下降，你最好自己算一遍。)

Answer 3

解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC=
CD 2-DH2
=6，
∴BC=BH+CH=8，
∴SABCD=
1
2
（AD+BC）AB=
1
2
×（2+8）×8=40．
（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=
3
2
＜4．
∴当t=
3
2
秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴
QC
DC
=
QE
DH
=
EC
HC
，
∴
3
10
=
QE
8
=
EC
6
，
∴QE=
12
5
，EC=
9
5
，
BE=8-
9
5
=
31
5
，
四边形PBCQ面积=S梯形QEBP+S△QEC=
1
2
（PB+QE）×BE+
1
2
QE×EC，
=
1
2
×（
12
5
+3）×
31
5
+
1
2
×
12
5
×
9
5
，
=
189
10
，
=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面积．
②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=
AP2+AD2
=
4 t2-32t+68
．
∵CE=
6
5
t，QE=
8
5
t，
∴QH=BE=8-
6
5
t，BH=QE=
8
5
t．
∴PH=2t-
8
5
t=
2
5
t．
∴PQ=
HQ2+PH2
=
(8-65)2+(25) 2
=
85t2-965t+64
，
DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=
4 t2-32t+68
，
解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=
85t2-965t+64
，
化简得：3t2-26t+45=0
解得：t=
13-34
3
，t=
13+34
3
＞4（不合题意舍去），
∴t=
13-34
3
，
∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10-2t．
∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t-10．
∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=
13-34
3 或4，4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．

Answer 4

解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC= CD 2-DH2 =6，
∴BC=BH+CH=8，
∴SABCD=1 2 （AD+BC）AB=1 2 ×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=3 2 ＜4．
∴当t=3 2 秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴QC DC =QE DH =EC HC ，
∴3 10 =QE 8 =EC 6 ，
∴QE=12 5 ，EC=9 5 ，
BE=8-9 5 =31 5 ，
四边形PBCQ面积=S梯形QEBP+S△QEC=1 2 （PB+QE）×BE+1 2 QE×EC，
=1 2 ×（12 5 +3）×31 5 +1 2 ×12 5 ×9 5 ，
=189 10 ，
=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面积．

②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD= AP2+AD2 = 4 t2-32t+68 ．
∵CE=6 5 t，QE=8 5 t，
∴QH=BE=8-6 5 t，BH=QE=8 5 t．
∴PH=2t-8 5 t=2 5 t．
∴PQ= HQ2+PH2 = (8-6 5 )2+(2 5 ) 2 = 8 5 t2-96 5 t+64 ，
DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t= 4 t2-32t+68 ，
解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t= 8 5 t2-96 5 t+64 ，
化简得：3t2-26t+45=0
解得：t=13- 34 3 ，t=13+ 34 3 ＞4（不合题意舍去），
∴t=13- 34 3 ，
∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10-2t．
∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t-10．
∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=13- 34 3 或4，4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．

Answer 5

过D点做BC边的垂线焦点为E，利用勾股定理可求出CE=6，则BC=8.S=0.5*（2+8）*8=40.
BP=2*t,CQ=2*t,则2*t+2*t+8=8+10+2-4*t,求出t=1.5<4，证明存在t=1.5时PQ平分其周长。
过P点做平行于BC的直线交CD于F点。根据比例关系可求出边长进而判断出面积不等分。
当5<t<=6时，为等腰三角形。

Answer 6

过D点做DE垂直于BC，得出DE=AB,DE垂直于BC，再根据勾股定理算出EC,最后AD+EC=BC. 再根据求面积公式《上底+下底》×高÷2=面积。不好意思只会第一问，不会第二个。