Question

设a＞0，f(x)=x^2+a｜lnx-1｜,当x≥1时，求函数最小值

Answer 1

解：

（1）当 1≤x≤e时，0≤lnx≤1，lnx -1≤0，
所以 f(x)=x^2+a｜lnx-1｜=f(x)=x^2-alnx+a，
f‘（x）=2x-a/x=（2x²-a）/x，
如果a＜2，则f'(x)＞0，即f（x）在1≤x≤e上为增函数，f（x）min=f（1）=1；
如果2≤a≤2e²时，在1≤x＜√(a/2) f’（x）＜0，在 √(a/2) ＜x≤e f’（x）＞0，
所以 f（x）min=f（√(a/2) ）=3a/2+a/2*ln（a/2）；
如果a＞2e²时，f'(x)＜0，即f（x）在1≤x≤e上为减函数，f（x）min=f（e）=e²；
函数的最小值为 f（1）=1；
（2）当x＞e时，f（x）=x^2+a｜lnx-1｜=f(x)=x^2+alnx-a，
f‘（x）=2x+a/x＞0，即f（x）在x＞e上为增函数，
f（x）min=f（e）=e²；
综上，有
如果a＜2，f（x）的最小值为1；
如果2≤a≤2e²，f（x）的最小值为3a/2+a/2*ln（a/2）；
如果a＞2e²，f（x）的最小值为e² 。

Answer 2

设a＞0，f(x)=x^2+a｜lnx-1｜,当x≥1时，求函数最小值
解：当x=1时，f(x)=x²+a=1+a；
当1<x<e时，f(x)=x²-a(lnx-1)=x²-alnx+a，令f′(x)=2x-a/x=(2x²-a)/x=2[x+√(a/2)][x-√(a/2)]/x=0
得极小点x=√(a/2)，当2<a≦2e²，minf(x)=f[√(a/2)]=a/2-aln√(a/2)+a=3a/2-(a/2)(lna-ln2)
=(a/2)(3-lna+ln2)；当a>2e²时，minf(x)=f(e)=e².
当x≧e时，f(x)=x²+alnx-a，由于f′(x)=2x+a/x=(2x²+a)/x>0，故f(x)=x²+alnx-a单调增加，故其最小
值=f(e)=e².
综上所述，在a>0的条件下，当x≧1时，f(x)=x^2+a｜lnx-1｜的最小值=e².