Question

设a∈R，函数f（x)=x^2+|x-a|+1,x∈R，求f(x)的最小值

Answer 1

设a为实数，函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x∈R，求f(x)的最小值。
i' 当x≥a时,
f(x)=x^2+x-a+1=[x^2+x+(1/4)]-a+1-(1/4)
=[x+(1/2)]^2+(3/4)-a
它的对称轴为x=-1/2
那么，当a≤-1/2时，因为x≥a，那么函数f(x)可以取得最小值f(-1/2)=(3/4)-a；
当a>-1/2时，因为x≥a，因为开口向上，那么函数f(x)的最小值为f(a)=a^2+1；
ii' 当x≤a时，
f(x)=x^2-x+a+1=[x^2-x+(1/4)]+a+1-(1/4)
=[x-(1/2)]^2+(3/4)+a
它的对称轴为x=1/2
那么，当a≥1/2时，因为x≤a，那么函数f(x)可以取得最小值f(1/2)=(3/4)+a；
当a<1/2时，因为x≤a，因为开口向上，那么函数f(x)的最小值为f(a)=a^2+1；
综上所述：
当a≤-1/2时，函数f(x)有最小值(3/4)-a；
当-1/2<a<1/2时，函数f(x)有最小值a^2+1；
当a≥1/2时，函数f(x)有最小值(3/4)+a。

（至于等号何时取都可以，因为在a=-1/2或者a=1/2时，两个端点值都是相等的。也就是说，最后得到关于f(x)最小值的函数表达式是一个连续函数。）