Question

在锐角三角形ABC中,abc分别为角ABC所对的边,且根号3倍A等于2倍的c乘sinA,若c等于根号7，求三角面积最大值

Answer 1

解：√3*a=2c*sinA,
因为a/sinA=c/sinC，所以sinC=√3/2
因为锐角三角形，C＝60°
由cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,得cos60°=(a^2+b^2-(√7)^2)/2ab=1/2
∴ab=a^2+b^2-7
则ab=a^2+b^2-4≥2ab-7， ∴ab≤7
∴S△ABC=1/2*ab*sinC=√3/4*ac≤7√3/4
∴S△ABC的最大面积为7√3/4

Answer 2

由√3a=2csinA得a/sinA=c/(√3/2)，故sinC=√3/2，
因为△ABC是锐角三角形，所以C=60°，而c=√7，故△ABC的AB边为定长√7，顶点C的轨迹是以AB为弦、对线段AB张开的圆周角为60°的（两段）圆弧。AB边上的高与C点的位置有关，当C位于AB的垂直平分线上时，AB边上的高最大，因而△ABC的面积获最大值，这时△ABC中BC=CA=AB，Sabc=(√3/4)×（√7）²=(7√3)/4。