Question

有关 数学归纳法的问题

例2设数列{an}满足a（n+1）=（an）²-n(an)+1,n=1,2,3,…
(1)当a1=2时，求a2,a3,a4，由此猜想出an的一个通项公式,并证明
(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n+2
解：(1)由a1=2得a2=a1²-a1+1=3
同理可得：a2=3、a3=4、a4=5
由此猜想an的一个通项公式：an=n+1 (n≥1)
证明：①当n=1时，a1=2=1+1
∴n=1时，猜测正确
②假设n=k时，猜测正确，即ak=k+1
∵an+1=an²-nan+1
∴ak+1=ak²-kak+1=(k+1)²-k(k+1)+1=(k+1)+1
即n=k+1时，猜测正确
由①②知对n∈N*都有an=n+1

(2)①当n=1,a1≥3=1+2，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2，
那么，ak+1=ak(ak-k)+1
≥(k+2)(k+2-k)+1
=2k+4+1≥(k+1)+2
也就是说，当n=k+1时，原不等式成立
根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n+2

在第②问中，ak+1=ak(ak-k)+1，如果由①问中得出的数列通式：an=n+1 (n≥1) 得出ak+1=ak(ak-k)+1=（k+1)（k+1-k)+1=K+2则小于（k+1)+2了

请详细解释说明，谢谢。

Answer 1

第一问和第二问前提就不一样（第一问当a1=2时，第二问当a1≥3时，），它们没关系，第二问不能直接能第一问得出的结论。