Question

线性代数提问：设方阵A满足A的平方=A。证明A的特征值只能为0或1

Answer 1

设A的特征值为λ，则|A-λE|=0
同时AA=A，所以|AA-λE|=0
所以AA和A的特征值相同
而又有AA的特征值是A的平方，所以λ^2=λ，所以λ=1 或者0

Answer 2

设λ是A的特征值
则 λ^2-λ 是 A^2-A 的特征值
而由已知 A^2-A = 0, 零矩阵的特征值只能是0
所以 λ^2-λ = 0
所以 λ(λ-1) = 0
所以 λ = 0 或 λ = 1.
即A的特征值只能是0或1.

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Answer 3

设A的特征值r，A^2=A,
即A^2-A=0
因此A的特征值满足：r^2-r=0
解得，r=0，或r=1
所以A的特征值只有为0和1