Question

是不是所有函数的反函数都关于y=x轴对称

46.（四川文4）函数 y=（1/2）＾x+1的图象关于直线y=x对称的图象像大致是
47.（四川理7）若 f（x）是R上的奇函数，且当x大于0 时，f（x）=（1/2）＾x+1 ，则 f（x）的反函数的图象大致是
46题反函数定义域为（1，2） 而47题定义域却没限制为什么

Answer 1

是的，只要一个函数的反函数存在，原函数与其反函数的图像都关于y=x轴对称
理7：
解析：f(x)为R上奇函数，x>0时，f(x)=(1/2)^x+1
先考察x>0部分：定义域x>0，值域f(x)>2
其反函数f^(-1)(x)=log(1/2,x-1), 定义域x>2，值域f^(-1)(x)>0
显然，A 符合
∵f(x)为R上奇函数，关于原点对称，∴f^(-1)(x)也是奇函数，关于原点对称。
∴选择A

文4
解析：∵函数 y=(1/2)^x+1，定义域R，值域f(x)>1
其反函数f^(-1)(x)=log(1/2,x-1), 定义域x>1，值域R
显然，选择A

Answer 2

是的，
反函数与源函数其实就是调换了X轴与y轴
例如： y=2^x 的反函数为x=log2y 如果仍以x为自变量，y为因变量 则反函数与原函数的图像完全一致 就连定义域，值域都一样。但一般把x=log2y写成y=log2x 这样，反函数与原函数就是对调了一下x轴和y轴！

Answer 3

原函数的图像和反函数的图像一定是关于直线X=Y对称的，如果一个函数的反函数就是它自身，那么这个函数自身的图象关于直线X=Y对称。

Answer 4

任意函数只要反函数存在，原函数与反函数都是关于直线y=x对称的。
46题增加定义域限制是为了考察对定义域的理解（限制在图像的某一部分）。47题不限制定义域，却增加了“奇函数”这个条件，考察内容难度更大一些（先要作出f（x）=（1/2）＾x+1 ，(x>0)关于y轴对称的图像）。

追问

那个定义域是最后画出来的反函数图象的定义域 两个函数一样为什么一个有一个没有

追答

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。有定义域限制的，只能画图像的限定部分，而没有有定义域限制的，要画出全部。

Answer 5

不是吧``