Question

自相关函数的定义

Answer 1

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。 　　对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数 　　当f为实函数时，有： 　　R_f(-\tau) = R_f(\tau)\, 　　当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足： 　　R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\, 　　其中星号表示共轭。 　　连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 |R_f(\tau)| \leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。 　　周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。 　　两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。 　　由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。 　　连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。 　　维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对： 　　R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df 　　S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau. 　　实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式： 　　R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) \cos(2 \pi f \tau) \, df 　　S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, d\tau.

Answer 2

R(X,Y)=E(X*Y);
Rx(t1,t2)=E(X(t1)*X(t2))