Question

Rt△ABC中,AC=BC,∠BAC的平分线AE与BC交于点E,过点B作AE的垂线交AE延长线于点D,BD、AC的延长线交于点F

连接CD，G是CD的中点，O为AB的中点，连结OG 1.判断OG与CD的位置关系，写出结论并证明 2. 求证AE=BF

Answer 1

解答：1、连接DO，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴在直角△ADB中，O点是斜边AB中点，∴DO=½AB，又O点是等腰直角△ACB斜边AB中点，∴CO=½AB，∴△COD是等腰△，又G是等腰△的底边中点，∴OG⊥CD﹙三线合一定理﹚。2、考察直角△ACE与直角△BCF，证明：∵∠ACE=∠BCF=90°∴∠F ＋∠FBC =90°,∠ADF =90°,∴∠FAD ＋∠F =90°,∴∠FAD =∠FBC,即∠CAE=∠CBF，AC=BC，∴△ACE≌△BCF﹙ASA﹚，∴AE=BF