Question

已知数列{an}中a1=1 a2=2 且an+1=(1+q)an-qan-1设bn=an+1-an 证明｛bn｝是等比数列

Answer 1

a(n+1)=(1+q)an-qa(n-1)
a(n+1)=an+qan-qa(n-1)
a(n+1)-an=qan-qa(n-1)
a(n+1)-an=q[an-a(n-1)]
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=q
所以an-a(n-1)是以q为等比数列
an-a(n-1)=(a2-a1)q^(n-1)
an-a(n-1)=q^(n-1)
a(n+1)-an=q^n

bn=a(n+1)-an=q^n
b(n-1)=q^(n-1)
bn/b(n-1)=q^n/q^(n-1)=q
所以｛bn｝是等比数列

Answer 2

证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得
an+1-an=q（an-an-1），
即bn=qbn-1，n≥2．
又b1=a2-a1=1，q≠0，
所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．

Answer 3

把条件式等式左右同时减掉an，然后右侧提取q。
剩下的不解释……