Question

已知x＝3是函数，f（x）＝aln（1＋x）＋x2－10x的一个极值点。（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的...

已知x＝3是函数，f（x）＝aln（1＋x）＋x2－10x的一个极值点。（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f′(x)=a 1+x +2x-10
所以f′(3)=a 4 +6-10=0
因此a=16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞）f′(x)=2(x2-4x+3) 1+x当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，
在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0
所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21
因此f（16）=162-10×16＞16ln2-9=f（1）f（e-2-1）＜-32+11=-21＜f（3）
所以在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）
因此，b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．

Answer 2

对f(x)求导，f(x)的导为a/(x+1)+2x-10 将x=3代入可使导为0，解得a=16，所以原函数f(x)的导为16/(x+1)+2x-10,原函数的定义域为x属于x>-1,再令F(X)的导分别大于0小于0，可知F(X)的单调递增区间为（-1，1）（3，。。）

Answer 3

f’（x）=a/(1+x)+2*x-10
(1)f’（3）=a/(1+3)+2*3-10=0 所以a=16
(2)递增区间（-1,1）和（3，+∞）递减区间（1，3）
(3)f（x）极大=16ln2-9 f（x）极小=16ln4-21
所以b的取值范围是（16ln4-21，16ln2-9）

Answer 4

(1)f'(x)=a/(1+x)+2x-10，f'(3)=a/4-4=0，得a=16
(2)f'(x)>0解得-1<x<1或x>3，f'(x)<0得1<x<3，所以f(x)在(-1,1)和(1,+∞)上单增，在(-1,1)上单减
(3)f(1)=16ln2-9，f(3)=32ln2-21，画图b范围(32ln2-21,16ln2-9)