Question

已知α，β是锐角，α+β≠π/2，且满足tanβ=sin2α/3-cos2α (1)证明：tan（α+β）=2tanα

（2）求tanβ的最大值

Answer 1

由已知tanβ=sin2α/(3-cos2α)
=2sinαcosα/(2+2sin²α)
=tanα/(1/cos²α+tan²α)
=tanα/(1+2tan²α)
（1）tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=[tanα+tanα/(1+2tan²α)]/[1-tanα*tanα/(1+2tan²α)]
=tanα*(2tan²α+2)/[1+2tan²α-tan²α]
=2tanα*(tan²α+1)/(1+tan²α)
=2tanα
得证
（2）因为α，β是锐角
所以tanβ>0 tanα>0
则tanβ=tanα/(1+2tan²α)
≤tanα/[2√(1*2tan²α)]
=tanα/[2√2*tanα]
=1/(2√2)
=√2/4
即tanβ的最大值为√2/4
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

设tanα=t，由万能公式得到：
sin2α=2t/(1+t^2)
cos2α=(1-t^2)/(1+t^2).
所以tanβ=sin2α/3-cos2α =(3t^2+2t-3)/[3(1+t^2)].

tan（α+β）
=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ）
=(t+tanβ)/(1-ttanβ)
=?
题目有点问题吧？