Question

已知锐角α，β满足tan(α-β）=sin2β，求证2tan2β=tanα+tanβ

Answer 1

tan(α-β）=sin2β
即（tana-tanβ）/（1+tana*tanβ）=2sinβcosβ/（sinβsinβ+cosβcosβ）=2tanβ/（1+tanβ*tanβ）
得tana=（2（tanβ的3次方）+3tanβ）/（1-tanβ的2次方）
tana+tanβ=tanβ+（2（tanβ的3次方）+3tanβ）/（1-tanβ的2次方）=2tan2β

Answer 2

∵tan(α－β)=sin2β，
左边： tan(α－β)=（tanα－tanβ）/（1＋tanαtanβ），
右边： sin2β=2sinβcosβ
=（2sinβcosβ）/1
=（2sinβcosβ）/（sin2β＋cos2β）
=（2tanβ）/（1＋tan2β），
∴（tanα－tanβ）/（1＋tanαtanβ）=（2tanβ）/（1＋tan2β）。
去分母整理得：tanα=（3tanβ＋tan3β）/（1－tan2β）.
∴tanα＋tanβ=（3tanβ＋tan3β＋tanβ－tan3β）/（1－tan2β）
=（2×2tanβ)/(1－tan2β)
=2tan2β.