Question

已知|x|≤1，|y|≤1，且z=|x+y|+|y+1|+|x-2y+4|的最大值为M。最小值为m，则M与m的值为？

请详细解答

Answer 1

解：
|x|≤1，|y|≤1，
则y+1≥0，x-2y+4≥-1-2+4=1＞0，
所以
z=|x+y|+|y+1|+|x-2y+4|
=|x+y|+y+1+x-2y+4
=|x+y|+x-y+5
如果x+y≥0，
z=x+y+x-y+5=2x+5，
当x=-1时，z取到最小值3，当x=1时，z取到最大值7；
如果x+y≤0，
z=-x-y+x-y+5
=-2y+5，
当y=1时，z取到最小值3，当y=-1时，z取到最大值7；
综上可知M=7，m=3。

Answer 2

【1】
∵|x|≦1, |y|≦1
∴-1≦x≦1, -1≦y≦1
∴1+y≧0,且x-2y+4≧1
∴原式可化为
z=1+y+x-2y+4+|x+y|
=5+(x-y)+|x+y|
即z=5+(x-y)+|x+y|
【2】
∵恒有|x+y|≧0
等号仅当x+y=0时取得。
∴当x=-1,y=1时，(z)min=3
即m=3
【3】
显然，当x=1,y=-1.或x=1,y=0时，
（z)max=7
即M=7