Question

请问几个关于矩阵特征值的基本问题

1、若矩阵A的特征值为p则xA的特征值为（x为一常数），问题其实就是矩阵乘以常数后特征值是不是也乘以相应常数？
2、若A的特征值为a，B的特征值为b，则A-B的特征值是？问题其实就是矩阵差的特征值是不是就是特征值的差？

Answer 1

1. 设α是A的属于特征值p的特征向量
则 Aα = pα
所以 xAα = xp α
所以 xp是xA的特征值, α 仍是 xA 的 属于特征值xp的特征向量.
(这个有更一般的结论: 设g(x) 是x的多项式, λ是A的特征值, α是A的属于特征值λ的特征向量.
则 g(λ) 是 g(A) 的特征值, α仍是g(A)的属于特征值g(λ)的特征向量)

2. a-b 不一定是 A-B 的特征值.

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追问

那I-aA矩阵的特征值是不是1-ap？
其中I是单位矩阵，p是矩阵A的特征值，已知矩阵A为对称正定矩阵。
以及为什么？

追答

1-ap 是矩阵 I-aA 的特征值
这里 g(x) = 1-ax
g(p) = 1-ap 是 g(A) = E-aA 的特征值

"矩阵A为对称正定矩阵？"
这是什么?

追问

题目给的A是正定对称矩阵,可是没用上啊
这是原题：设A为对称正定矩阵，对方程组Ax=b建立如下迭代方法：x^(k+1)=(I-aA)x^(k)+ab,k=0,1,2.....
证明：当0<a<（2/λ）时此迭代法是收敛的，这里λ是A的最大特征值。
因为电脑显示的问题，我打的x^(k+1)就是x第k+1步的迭代值，不是指数。
为证明收敛结合题目条件应该证明迭代矩阵的谱半径小于1，即(I-aA)的最大特征值的绝对值小于1.现在正定对称没用上，怎么回事呢？