Question

已知，如图，梯形ABCD中，AB＝CD ,AD∥BC，对角线AC,BD相交于点O,AC垂直BD ,DH垂直BC于H ,EF为中位线 。求

证EF=DH

Answer 1

证明：设DH交AC于点E
因为AB=CD,AD//BC,所以：梯形ABCD是等腰梯形
则∠ABC=∠DCB
又BC是公共边
所以△ABC≌△DCB (SAS)
则∠ACB=∠DBC
又AC⊥BD
所以△BOC是等腰直角三角形
则∠ACB=∠DBC＝45°
而由AD//BC得∠CAD=45°
因为DH⊥BC亦即DH⊥AD
所以△ADE和△CEH都是等腰直角三角形
则AD=DE,CH=EH
又易知CH=1/2 *(BC-AD)
所以DH=DE+EH=AD+1/2 *(BC-AD)=1/2 *(BC+AD) (1)
因为EF为梯形ABCD的中位线，所以：
EF=1/2 *(BC+AD) (2)
所以由(1).(2)两式可知：EF=DH

Answer 2

作DM平行AC交BC的延长线于点M。
则四边形ACMD是平行四边形，AD=CM，DM=AC。
因为梯形ABCD中，AB＝CD ,AD∥BC，所以，AC=BD，所以，BD=DM。
因为AC垂直BD，DM平行AC，所以，BD垂直DM。
所以，三角形BDM是等腰直角三角形，DH是斜边BM的高，
所以，DH也是斜边BM的中线，所以，DH=1/2BM=1/2（BC+CM）=1/2（BC+AD）。
因为EF是梯形的中位线，所以，EF= 1/2（BC+AD）。
所以，EF=DH。

Answer 3

证明：过D作DG∥AC交BC延长线于G，
∵AD∥BC，∴AD=CG，且DG=AC=DB，又AC⊥BD，∴△DBG是等腰直角三角形，DH是斜边上的高
∴DH=BG/2=(BC+CG)/2=(BC+AD)/2
∵EF=(BC+AD)/2，∴EF=DH
证毕