Question

若α,β是方程x²-2ax+a+6=0的两实根,则(α-1)²+(β-1)²的最小值是

若α,β是方程x²-2ax+a+6=0的两实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是

球过程。谢谢

Answer 1

方程有两实根，△≥0
4a²-4(a+6)≥0
a²-a-6≥0
(a-3)(a+2)≥0
a≥3或a≤-2

根据韦达定理
α+β=2a
α*β=a+6
(α-1)²+(β-1)²
=α²-2α+1+β²-2β+1
=(α+β)²-2*α*β-2(α+β)+2
=4a²-2*(a+6)-2*2a+2
=4a²-2a-12-4a+2
=4a²-6a-10
=4(a-3/4)²-12.25
a=3时有最小值为：
4(3-3/4)²-12.25=8

Answer 2

α+β=2a，αβ=a+6
△=4a²-4(a+6)≥0，a≤-2或a≥3

(α-1)²+(β-1)²
=[(α-1)+(β-1)]² - 2(α-1)(β-1)
=(α+β-2)² -2[αβ-(α+β)+1]
=(2a-2)²-2(a+6-2a+1)
=4a²-6a-10
=4(a - 3/4)² - 49/4
∵a≤-2或a≥3
∴当a=3时，有最小值8

Answer 3

设M=(α－1)²＋(β－1)²=α²＋β²－2(α＋β)＋2=(α＋β)²－2(α＋β)－2αβ＋1；
因此方程的判别式=4a²－4(a＋6)≥0，得：a≤－2或a≥3，且α＋β=2a，αβ=a＋6，则：
M=4a²－4a－2(a＋6)＋1=4a²－6a－11，其中a≤－2或a≥3，则M的最小值是当a=3时取得的，最小值是7

Answer 4

△=（2a）^2-4*(a+6)>=0;
a>=3或a<=-2,
(α-1)²+(β-1)²
=4*a^2-6a-10
配方看下 a=3/4 不在范围内
把a=3和-2代进去看哪个小就行了