Question

已知点P(2.1)及圆M：X^2+Y^2-6X=0（1）若直线L1过点P.且圆心

已知点P(2.1)及圆M：X^2+Y^2-6X=0（1）若直线L1过点P.且圆心M到L1的距离为1，求直线L1的方程（2）过点P,M且与X轴相切的圆的方程（3）是否存在实数a,使直线L2:aX-Y+2=0与圆M交于A,B两点，与（2）中的圆N交于C,D两点，且‖AB‖=3‖CD‖?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

解答如下：
（1）、设所求直线方程为y=kx+b,则由题意知：1=2k+b，且M（3，0），圆的半径R=3，所以根号下（1+k^2）=绝对值（3k+b）,所以有k=0,b=1,所求直线方程为y=1；
（2）、设所求圆的方程为（x-a）^2+（y-b）^2=R^2,则由题意知：（2-a）^2+（1-b）^2=R^2，（3-a）^2+b^2=R^2，R=b的绝对值，解得：a=3，b=1，R=1，故所求圆的方程为（x-3）^2+（y-1）^2=1；
（3）、假设存在，则有判别式1=（4a-6）^2-16(1+a^2)>0,得a<5/12，判别式2=（2a-6)^2-36(1+a^2)>0,得-3/4<a<0,所以a范围为-3/4<a<0，由弦长公式得：‖AB‖=根号下[（20-48a）/（1+a^2）]，‖CD‖=根号下[（-32a^2-24a）/（1+a^2）]，由‖AB‖=3‖CD‖得：72a^2+42a+5=0，解得：a=-5/12或-1/6,所以存在这样的a，且a=-5/12或-1/6