Question

sin根号x+1减去sin根号x在x趋于无穷大的极限。

Answer 1

具体回答如下：

lim{x->∞)sin√(x+1)-sin√x

=lim{x->∞)2cos(√(x+1)+√x)/2*sin(√(x+1)-√x)/2

=lim{x->∞)2cos(√(x+1)+√x)/2*sin[1/2(√(x+1)+√x)]

=0

第二个等号对(√(x+1)-√x)/2进行分子有理化

即分子分母同时乘以√(x+1)+√x

第三个等号是因为有界函数与无穷小的乘积还是无穷小

极限函数的意义：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

lim{x->∞)sin√(x+1)-sin√x=lim{x->∞)2cos(√(x+1)+√x)/2*sin(√(x+1)-√x)/2=lim{x->∞)2cos(√(x+1)+√x)/2*sin[1/2(√(x+1)+√x)]=0

“极限”是数学中的分支微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

产生：

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

以上内容参考：百度百科-极限

Answer 3

用拉格朗日中值定理来求

f(x) = sinx

为无穷小

为无穷小

<=1 >=-1

为有界变量（|cosx|<=1）

有界变量乘以无穷小为无穷小

所以极限为0

Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 5

lim{x->∞)sin√(x+1)-sin√x=lim{x->∞)2cos(√(x+1)+√x)/2*sin(√(x+1)-√x)/2
=lim{x->∞)2cos(√(x+1)+√x)/2*sin[1/2(√(x+1)+√x)]
=0
第二个等号对(√(x+1)-√x)/2进行分子有理化, 即分子分母同时乘以√(x+1)+√x
第三个等号是因为有界函数与无穷小的乘积还是无穷小.