Question

高中数学题求解 在线等

实数a,b,c满足a>0,a+b+c=0。
（1）求证：关于x的方程x^2+ax+b+c=0有两个不相等的实根。
（2）证明：ab+bc+ca<0

Answer 1

(1)判别式△=a²-4(b+c)=a²+4a＞0，∴关于x的方程x^2+ax+b+c=0有两个不相等的实根
(2)注意到(a+b+c)²-(ab+bc+ca)=a²+b²+c²+ab+bc+ca=(1/2)[(a²+b²+2ab)+(b²+c²+2bc)+(c²+a²+2ca)]=(1/2)[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]≥0。等号成立当且仅当a+b=b+c=c+a=0，即a=b=c=0，这与a>0矛盾！所以等号不可能成立，即(a+b+c)²-(ab+bc+ca)>0
ab+bc+ca<(a+b+c)²=0

Answer 2

2）设ab+bc+ca<0成立
b=-(a+c)
ab+bc+ca=b(a+c)+ca=-(a+c)(a+c)+ca=-(a+c)^2+ca<0
则ca<(a+c)^2,已知a>0,则：
如果c<=0,则ca<=0<(a+c)^2，等式成立
如果c>0,则(a+c)^2=a^2+c^2+2ac>ac,则等式成立

Answer 3

用韦达定理，X1+X2=-b\a X1*X2=c\a 解第一问

追问

x的方

追答

好像不对

Answer 4

1
x^2+ax+b+c=0
(x-a/2)^2-(1/4)a^2+b+c=0
(x-a/2)^2=(1/4)a^2+a
=(1/4)a(a+4)
因a＞0,a+4＞0
(x-a/2)^2＞0
所以有两个不相等的实根。

2.
-a=b+c＜0
a^2=b^2+c^2+2bc
≥2|bc|+2bc
当bc＞0时，a^2≥4bc＞bc
a＞bc/a
-b-c＞bc/a
-ab-ac＞bc
ab+bc+ca＜0;
当bc＜0时，a≥0,因a≠0，所以b≠-c

追问

主要求第二问

追答

当bc＜0时，
b+c＜0,所以ab+ac＜0
相加
ab+bc+ca＜0。