Question

高中数学不等式恒成立问题 f(x)=(x2-ax+a)/x,x属于[1，正无穷），

对任意x属于[1，正无穷），f(x)>0恒成立，求a的取值范围
函数是(x的平方-ax+a)/x

Answer 1

你好！
f(x)=(x^2-ax+a)/x>0对于x∈[1,+∞)恒成立
即
x^2-ax+a>0对于x∈[1,+∞)恒成立
因为上面标示开头向上的抛物线
要使的恒大于0，那么分类讨论：

1）当判别式△=a^2-4a<0,那么恒大于0，满足题目意思
即a(a-4)<0
解得
0<a<4

2）当判别式△=a^2-4a=0,那么函数与x轴有一个交点
a=0或者4
当a=0时，x^2也满足在[1,+∞）为正，满足题意
当a=4时，x^2-4x+4=(x-2)^2不满足在[1,+∞)为正，因为有一点x=2处为0，所以舍弃

3）当判别式△=a^2-4a>0，即a>4或者a<0那么有两个不等的实根
要保证在x>=1上为正
那么就要保证最大的那个实根要大于1即可
而最大的实根=[a+√(a^2-4a)]>1
√(a^2-4a)>1-a
显然当a>4时，右边都是负数，满足不等式，成立
当a<0时，右边是正数，所以两边平方，得到
a^2-4a>1+a^2-2a
2a<-1
a<-1/2
所以a<-1/2或者a>4

综上，a<-1/2或者a>0且a≠4

希望对你有所帮助O(∩_∩)O哈！

Answer 2

f(x)>0，
即(x的平方-ax+a)/x>0，
x属于[1，正无穷），所以x的平方-ax+a>0，
a(x-1)<x^2,
a< x^2/(x-1),

x^2/(x-1)=[(x-1)^2+2(x-1)+1]/(x-1)
=(x-1)+2+1/(x-1)
=(x-1) +1/(x-1) +2
≥2√[(x-1) •1/(x-1)] +2
=4.
即x^2/(x-1)的最小值是4，
所以a<4.

Answer 3

分析：X属于（1，正无穷），则有X>0。
若要F(X)>0恒成立，则X^2-AX+A>0必须恒成立，设此不等式为F1。
对此方程分析：
1，方程无根时F1成立，有A^2-4A<0得-4<A<4
2，方程有根时需要其较大的一个值小于1，则A^2-4A=0排除，只考虑A^2-4A>0。解此不等式得A>4或A<-4。当A>4时，X^2-AX+A的值必有1个大于1，排除。当A<-4时符合。
综上，A<4,则题目要求成立！

不知道对不对

Answer 4

f(x)=(x^2-ax+a)/x在x∈[1，正无穷），f(x)>0恒成立
则使(x^2-ax+a)在x∈[1，正无穷），f(x)>0恒成立
令g(x)=x^2-ax+a
①
g(x)=0无解，则△=a^2-4a<0 0<a<4
②
g(x)=0有解，但是解的较大数小于1，
则有：(a+√(a^2-4a))/2<1 a≦0
综上①②所得：
a<4

Answer 5

化简得x+a/x-a，
a>0时
为对构函数，且x=根号a时值最小
当1>=根号a时 0<a<=1
把x=1代入1+a-a=1恒成立
当1比根号a小时 a>1
把根号a代入得0<a<4 综合得1<a<4

当a<0时 函数有单调递增
把x=1代入成立
且a=0时也成立
所以a<4