Question

请证明等价的两个矩阵秩相等

Answer 1

知识点:
初等变换不改变矩阵的秩
可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积

证明: 设A与B等价
则存在可逆矩阵P,Q满足 PAQ = B.

因为可逆矩阵可能表示成初等矩阵的乘积
故 P = P1....Ps, Q = Q1....Qt
且有 P1....Ps A Q1....Qt = B.

初等矩阵左(右)乘A, 相当于进行相应的初等行(列)变换
而初等变换不改变矩阵的秩

所以 r(A) = r(P1....Ps A Q1....Qt) = r(B).