Question

这样是如何证明收敛数列极限唯一的？

设lim xn = a，lim xn = b
当n > N1，|xn - a| < E
当n > N2，|xn - b| < E
取N = max {N1，N2}，则当n > N时有
|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|<=|xn - b|+|xn - a|<=E+E=2E
上式子当a=b时才能成立，从而证得结论。

为什么a和b相等那个式子才能成立？
看不懂，那位可以具体的解析一下吗

Answer 1

因为E是任意的。

如果我们假设a,b不相等，即a与b的差值不为0，
则我们设|a-b|=t,(t不等于0)

则我们一定能找到一个E
满足0<E<t/2 (例如取E=t/4,因为E是任意正数，所以一定能取到)
则t>2E
这样，式子|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|<=|xn - b|+|xn - a|<=E+E=2E
即|a-b|=t<=2E就不能恒成立

所以，假设错误，a必须等于b
这样t=|a-b|=0,无论E取什么值
均满足0=|a-b|<2E成立

Answer 2

|a-b|<=2E, 而E是任意一个正数，故E可以无限接近于零。故只有a=b的时候，|a-b|=0才能保证|a-b|<=2E对任意的E都成立。关键就是要注意到E是任意一个正数，注意到这点就不难理解了。