Question

高一不等式。kx^2+(k-1)x≥0 (k≠0)

kx^2+(k-1)x≥0 (k≠0)
(1)k=2时，求x的取值范围。
(2)k>0时，求x的取值范围。
(3)k>0时，对x∈[1,+∞)都有kx^2+(k-1)x≥k-1恒成立，求k的取值范围。

拜托了！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

1、当k=2时，不等式是2x²＋x≥0，即x(2x＋1)≥0，解集是{x|x≥0或x≤－1/2}；
2、当k>0时，两边除以k，得：x²＋[(k－1)/k]x≥0，x²＋[(k－1).k]x=0的根是x1=0、x2=(1－k)/k；
①若0<k<1，则x1<x2，解集是{x|x≥(1－k)/k或x≤0}；
②若k=1，则x1=x2，解集是{x|x∈R}；
③若k>1，则x1>x2，解集是{x|x≥0或x≤(1－k)/k}
3、当k>0时，kx²＋(k－1)x≥k－1恒成立，即：(x²＋x－1)k≥x－1恒成立
因x≥1，则x²＋x－1>0，则：
k≥(x－1)/(x²＋x－1)
设x－1=m>0，则k≥m/(m²＋3m＋1)=1/[m＋1/m＋3]，而m＋1/m≥2，则：k≥1/5

追问

谢谢，问下第三问。
要让(x²＋x－1)k＋(1－x)≥0 为什么有下面的条件呢?

追答

因为x²＋x－1在题目条件下是大于0的，则可以除过去，得到：
k≥(x－1)/(x²＋x－1)
要使得这个恒成立，则需要k大于等于(x－1)/(x²＋x－1)的最大值，
再换元后，就需要得到m/(m²＋3m＋1)=1/[m＋1/m＋3]的最大值，考虑到：1、m>0；2、满足基本不等式的形式，则可以求出其最大值是当m=1时取得的，是1/5，则：k≥1/5

追问

懂了，感谢。

Answer 2

kx^2+(k-1)x≥0 (k≠0)
x[kx+k-1]>=0.
(1)k=2时变为x(2x+1)>=0,
x<=-1/2,或x>=0.
(2)k>0时
i)k=1时x∈R;
ii)k>1时x<=(1-k)/k或x>=0;
iii)0<k<1时x<=0,或x>=(1-k)/k.
(3)k>0时，对x∈[1,+∞)都有kx^2+(k-1)x≥k-1恒成立，
记f(x)=kx^2+(k-1)x-k+1,x>=1时f(x)>=0,
∴f(1)=k>0,
i)(1-k)/(2k)<=1,1-k<=2k,k>=1/3;
ii)0<k<1/3,△=（k-1)^2+4k(k-1)=(k-1)(5k-1)<=0,1/5<=k<=1,
求交集得1/5<k<1/3.
求i)、ii)的并集得k>1/5.

Answer 3

kx^2+(k-1)x≥0 (k≠0)
(1)k=2
2x^2+x≥0
x(2x+1)≥0
x≥0 or x≥-1/2
(2)k>0
b^2-4ac=(k-1)^2≥0
x取全体实数
(3)k>0时，对x∈[1,+∞)都有kx^2+(k-1)x≥k-1恒成立
kx^2+(k-1)x-k+1≥0
1)x=-(k-1)/2k<1
k>1/3
f(1)=k≥0
∴ k>1/3
2)x=-(k-1)/2k=1
k=1/3
f(1)=k≥0
∴k=1/3
3)x=-(k-1)/2k>1
0<k<1/3
b^2-4ac=5k^2-6k+1≤0
1/5≤k≤1
∴1/5≤k<1/3
∴k≥1/5

Answer 4

(1) 2x^2 + x ≥0 x(2x+1) >= 0, x的取值范围x>=0, or x<-1/2
(2) k > 0, x(kx + k-1)>=0,
k >= 1, x的取值范围 x>0, or x<k/(1-k)
0< k <1, x的取值范围 x>k/(1-k), or x < 0
(3) k>0时，kx^2+(k-1)x≥k-1 ==> k(x^2 +x-1) >= x-1 >= 0.
x >= 1 ==> x^2 +x-1 >= 0
k的取值范围 k ≥ 0